Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 61$ , $x + y = 11$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 11 - y$

$x^{2} + y^{2} = 61$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $11 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 61$ por $11 - y$ .

${(11 - y)}^{2} + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(11 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(11 - y)}^{2}$ como $(11 - y) (11 - y)$ .

$(11 - y) (11 - y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(11 - y) (11 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$11 (11 - y) - y (11 - y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$11 \cdot 11 + 11 (- y) - y (11 - y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$11 \cdot 11 + 11 (- y) - y \cdot 11 - y (- y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$11 \cdot 11 + 11 (- y) - y \cdot 11 - y (- y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $11$ por $11$ .

$121 + 11 (- y) - y \cdot 11 - y (- y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$121 - 11 y - y \cdot 11 - y (- y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$121 - 11 y - 11 y - y (- y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$121 - 11 y - 11 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$121 - 11 y - 11 y + 1 y^{2} + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$121 - 11 y - 11 y + y^{2} + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$121 - 11 y - 11 y + y^{2} + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $11 y$ de $- 11 y$ .

$121 - 22 y + y^{2} + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$121 - 22 y + y^{2} + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$121 - 22 y + y^{2} + y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 2.2.1.2

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$121 - 22 y + 2 y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$121 - 22 y + 2 y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$121 - 22 y + 2 y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

$121 - 22 y + 2 y^{2} = 61$

$x = 11 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $121 - 22 y + 2 y^{2} = 61$ .

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Paso 3.1

Resta $61$ de ambos lados de la ecuación.

$121 - 22 y + 2 y^{2} - 61 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.2

Resta $61$ de $121$ .

$- 22 y + 2 y^{2} + 60 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $- 22 y + 2 y^{2} + 60$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 22 y$ .

$2 (- 11 y) + 2 y^{2} + 60 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (- 11 y) + 2 (y^{2}) + 60 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $2$ de $60$ .

$2 (- 11 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot 30 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- 11 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- 11 y + y^{2}) + 2 \cdot 30 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- 11 y + y^{2}) + 2 \cdot 30$ .

$2 (- 11 y + y^{2} + 30) = 0$

$x = 11 - y$

$2 (- 11 y + y^{2} + 30) = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.2

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$2 (- 11 u + u^{2} + 30) = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.3

Factoriza $- 11 u + u^{2} + 30$ con el método AC.

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Paso 3.3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $30$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 6, - 5$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((u - 6) (u - 5)) = 0$

$x = 11 - y$

$2 ((u - 6) (u - 5)) = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.4

Factoriza.

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Paso 3.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 ((y - 6) (y - 5)) = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (y - 6) (y - 5) = 0$

$x = 11 - y$

$2 (y - 6) (y - 5) = 0$

$x = 11 - y$

$2 (y - 6) (y - 5) = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 5 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.5

Establece $y - 6$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $y - 6$ igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 6$

$x = 11 - y$

$y = 6$

$x = 11 - y$

Paso 3.6

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = 11 - y$

Paso 3.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

$x = 11 - y$

$y = 5$

$x = 11 - y$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (y - 6) (y - 5) = 0$ verdadera.

$y = 6, 5$

$x = 11 - y$

$y = 6, 5$

$x = 11 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $6$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 11 - y$ por $6$ .

$x = 11 - (6)$

$y = 6$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $11 - (6)$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x = 11 - 6$

$y = 6$

Paso 4.2.1.2

Resta $6$ de $11$ .

$x = 5$

$y = 6$

$x = 5$

$y = 6$

$x = 5$

$y = 6$

$x = 5$

$y = 6$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $5$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 11 - y$ por $5$ .

$x = 11 - (5)$

$y = 5$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $11 - (5)$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x = 11 - 5$

$y = 5$

Paso 5.2.1.2

Resta $5$ de $11$ .

$x = 6$

$y = 5$

$x = 6$

$y = 5$

$x = 6$

$y = 5$

$x = 6$

$y = 5$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(5, 6)$

$(6, 5)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(5, 6), (6, 5)$

Forma de la ecuación:

$x = 5, y = 6$

$x = 6, y = 5$

Paso 8